Формулы и алгоритмы по математике

1. Алгебра: Квадратные уравнения и теорема Виета

Вид уравнения: \(ax^2 + bx + c = 0\)

Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac \]

Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Как применять:

1. Если D > 0, уравнение имеет ровно два различных корня. График параболы пересекает ось X дважды.
2. Если D = 0, уравнение имеет один корень \(x = -\frac{b}{2a}\). Парабола касается оси X вершиной.
3. Если D < 0, действительных корней нет. Парабола висит над или под осью X.

Быстрый подбор корней (Теорема Виета): Для \(x^2 + px + q = 0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\).

2. Алгебра: Степени и логарифмы

Свойства степеней: \[ a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad (a^m)^n = a^{m \cdot n}, \quad a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \]

Определение логарифма: \[ \log_a b = c \iff a^c = b \]

Сумма и разность: \[ \log_a x + \log_a y = \log_a (xy), \quad \log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right) \]

Степени внутри логарифма: \[ \log_a (x^p) = p \log_a x, \quad \log_{a^q} x = \frac{1}{q} \log_a x \]

Алгоритм решения логарифмических уравнений:

1. ОДЗ (Обязательно!): Аргумент логарифма строго больше нуля (\(x > 0\)), основание строго больше нуля и не равно единице (\(a > 0, a \neq 1\)).
2. Сведите уравнение к виду \(\log_a f(x) = \log_a g(x)\), используя свойства суммы/разности.
3. Отбросьте логарифмы: \(f(x) = g(x)\).
4. Решите полученное уравнение и проверьте, входят ли корни в ОДЗ.

3. Тригонометрия: Тождества и двойные углы

Основное: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

Двойной синус: \[ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \]

Двойной косинус (3 формы): \[ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha \]

Секреты решения тригонометрических уравнений:

1. Увидели \(\cos 2x\)? Сразу смотрите на остальную часть уравнения. Если там есть \(\sin x\), раскрывайте \(\cos 2x\) через \(1 - 2\sin^2 x\), чтобы получить квадратное уравнение относительно синуса.
2. Замена переменной: пусть \(\sin x = t\), где \(t \in [-1; 1]\). Решите квадратное уравнение для \(t\).
3. Корни вида \(\sin x = a\) записываются как \(x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, n \in \mathbb{Z}\). Корни косинуса: \(x = \pm \arccos a + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\).

4. Начала анализа: Производная и экстремумы

Таблица: \[ (x^n)' = n x^{n-1}, \quad (\sin x)' = \cos x, \quad (\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad (e^x)' = e^x \]

Произведение и частное: \[ (uv)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Алгоритм поиска максимума/минимума функции:

1. Найдите производную функции \(f'(x)\).
2. Приравняйте производную к нулю: \(f'(x) = 0\) и найдите корни (критические точки).
3. Отметьте эти корни на числовой прямой. Определите знак производной \(f'(x)\) на каждом получившемся интервале (подставив любое число из интервала в производную).
4. Где \(f'(x) > 0\), функция возрастает (стрелка вверх). Где \(f'(x) < 0\), функция убывает (стрелка вниз).
5. Точка, где знак меняется с "+" на "-" — это Максимум. С "-" на "+" — Минимум.

5. Начала анализа: Интегралы и площади

Формула Ньютона-Лейбница: \[ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) \]

Степенная функция: \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \ (n \neq -1) \]

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиками:

1. Найдите абсциссы точек пересечения графиков (приравняйте функции \(f(x) = g(x)\) и решите уравнение). Это будут пределы интегрирования \(a\) и \(b\).
2. Определите, какой график находится "выше" на этом отрезке, а какой "ниже".
3. Вычислите определенный интеграл от разности: \(\int_a^b (\text{верхняя функция} - \text{нижняя функция}) dx\).
4. Найдите первообразную по таблице и подставьте пределы: сначала верхний (\(b\)), затем нижний (\(a\)), и вычтите второе из первого.

6. Финансовая математика (Кредиты и вклады)

Коэффициент увеличения долга: \[ k = 1 + \frac{r}{100} \] (где \(r\) — процентная ставка)

Аннуитетный платеж (Одинаковые выплаты):

Каждый год долг умножается на \(k\), затем вычитается фиксированная выплата \(X\).
Остаток после 1 года: \(S_1 = Sk - X\)
Остаток после 2 лет: \(S_2 = S_1 k - X = (Sk - X)k - X = Sk^2 - Xk - X\)
Лайфхак: Если кредит взят на 3 года и полностью выплачен, уравнение выглядит так: \(Sk^3 - Xk^2 - Xk - X = 0\).

Дифференцированный платеж (Долг убывает равномерно):

Долг каждый месяц уменьшается на одну и ту же величину. Если кредит на \(n\) месяцев, основной долг уменьшается на \(\frac{S}{n}\).
Выплата в любой месяц состоит из двух частей: (Погашение части долга) + (Проценты на остаток долга).
Самая большая выплата — первая, самая маленькая — последняя. Общая сумма выплат = \(S + \text{все начисленные проценты}\).

7. Планиметрия: Треугольники и их элементы

Теорема косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma \]

Теорема синусов: \[ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R \]

Площади: \[ S = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}ab\sin\gamma = p \cdot r = \frac{abc}{4R} \]

Как применять в задачах:

1. Теорему косинусов используем, когда известны 2 стороны и угол между ними (ищем третью сторону), либо известны все 3 стороны (ищем угол).
2. Теорему синусов применяем, когда известна сторона и противолежащий ей угол, и нужно найти другую сторону/угол или радиус описанной окружности (\(R\)).
3. Медиана делит треугольник на два равновеликих (с одинаковой площадью).
4. Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

8. Стереометрия: Объемы и сечения

Призма и цилиндр: \[ V = S_{\text{осн}} \cdot h \]

Пирамида и конус: \[ V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h \]

Шар: \[ V = \frac{4}{3} \pi R^3, \quad S = 4 \pi R^2 \]

Советы по решению стереометрии:

1. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость (нужно опустить перпендикуляр из точки на плоскость).
2. Метод объемов: Если нужно найти расстояние от точки до плоскости, постройте треугольную пирамиду с вершиной в этой точке. Выразите объем этой пирамиды двумя разными способами (взяв за основание разные грани) и приравняйте их.
3. Отношение объемов подобных фигур равно кубу коэффициента подобия (\(k^3\)), а площадей поверхностей — квадрату (\(k^2\)).

9. Векторы и метод координат

Скалярное произведение: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\phi \]

Длина вектора: \[ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

Как применять:

1. Если скалярное произведение векторов равно нулю (\(x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 = 0\)), то векторы перпендикулярны (угол между ними 90°).
2. Чтобы найти косинус угла между прямыми в пространстве, введите систему координат, найдите координаты направляющих векторов этих прямых и используйте формулу: \(\cos\phi = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\).

10. Теория вероятностей и комбинаторика

Классическая вероятность: \[ P(A) = \frac{m}{n} \]

Формула Бернулли (k успехов в n испытаниях): \[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

Правила вычисления:

1. Правило суммы (ИЛИ): Вероятность наступления одного из несовместных событий равна сумме их вероятностей. \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
2. Правило произведения (И): Вероятность совместного наступления независимых событий равна произведению их вероятностей. \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\).
3. При броске двух игральных костей общее число исходов всегда \(n = 36\). Дальше просто перечисляем руками подходящие варианты (\(m\)) и делим.

11. Прогрессии (Арифметическая и геометрическая)

Арифметическая (Сумма): \[ S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n \]

Геометрическая (Сумма): \[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \]

Типичные задачи:

1. В текстовых задачах на работу/движение, где скорость или производительность меняется на одну и ту же величину каждый день, используйте формулу суммы арифметической прогрессии.
2. Основное свойство арифметической прогрессии: любой член равен среднему арифметическому соседей: \(a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\).
3. Основное свойство геометрической прогрессии: квадрат любого члена равен произведению соседей: \(b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}\).

Справочник: Формулы и алгоритмы